Le XXe siècle a connu une succession rapide de développements fondamentaux dans les mathématiques formelles. Beaucoup d`entre eux pourraient être interprétés comme démontrant les limitations de l`approche formelle, mais ils ont plutôt révélé sa complexité cachée. Cantor développa une théorie des collections infinies et Zermelo codifia ses propriétés dans son axiomatisation de la théorie des ensembles. Dirigée par Skolem, la logique de premier ordre a été développée comme un langage puissant et robuste des mathématiques formelles. Les théorms de Lowenheim-Skolem ont montré qu`une collection d`axiomes ne peut pas déterminer la taille d`un modèle: chaque collection d`axiomes ayant un modèle infini, a également des modèles de chaque cardinalité infinie. (Un modèle pour une collection d`instructions est simplement une structure mathématique dans laquelle les déclarations sont vraies.) Gödel (et Maltsev) a prouvé le théorème d`exhaustivité montrant que chaque collection de déclarations à partir desquelles aucune contradiction ne peut être dérivée a un modèle. Une conséquence puissante de cela, le théorème de compacité, a montré que si chaque fragment fini d`une collection de déclarations a un modèle, alors fait la collection entière (n`importe comment infiniment grand). Enfin, le premier théorème d`incomplétude de Gödel`s a montré que les axiomes de Peano, et en fait toute axiomatisation raisonnable de l`arithmétique, ne pouvaient pas prouver toutes les vraies déclarations arithmétiques. Les théorms d`incomplétude de Gödel`s impliquent aussi l`existence de modèles d`arithmétique non standard. Les théorms d`incomplétude montrent qu`une phrase particulière G, la phrase Gödel de l`arithmétique de Peano, n`est pas prouvable ni déprouvable dans l`arithmétique de Peano. Par le théorème de complétude, cela signifie que G est faux dans un certain modèle d`arithmétique de Peano. Toutefois, G est vrai dans le modèle standard d`arithmétique, et donc tout modèle dans lequel G est false doit être un modèle non standard.

Ainsi satisfaisant ~ G est une condition suffisante pour qu`un modèle soit non standard. Cependant, ce n`est pas une condition nécessaire; pour toute phrase Gödel G, il existe des modèles d`arithmétique avec G vrai de toutes les cardinalités. «Cela découle inévitablement de la capacité de parler de moins de modèles possibles. Comme il est écrit, «ce qui est vrai d`une pomme peut ne pas être vrai d`une autre pomme; ainsi on peut dire plus sur une seule pomme que sur toutes les pommes dans le monde. Si vous pouvez restreindre votre discours à une collection plus restreinte de modèles, il ya plus de faits qui suivent inévitablement, parce que le plus de modèles dont vous pourriez parler, le moins de faits peuvent éventuellement être vrai sur chacun d`eux. Et il est également certainement vrai que l`arithmétique de second ordre prouve plus de théorèmes que l`arithmétique de premier ordre-par exemple, il peut prouver qu`une machine de Turing qui calcule les séquences de Goodstein atteint toujours 0 et s`arrête, ou qu`Hercule gagne toujours le jeu d`Hydra. Mais il ya un peu de controverse, nous allons entrer dans plus tard pour savoir si la logique de second ordre est en fait plus puissant que la logique de premier ordre en général. Oui, j`ai une autre question. Plus tôt, vous avez dit que vous aviez à utiliser la logique de second ordre pour définir les nombres. Mais je suis assez sûr que j`ai entendu parler de quelque chose appelé «arithmétique Peano premier ordre» qui est également censé définir les nombres naturels. En passant par le nom, je doute qu`il a des axiomes «second ordre». Honnêtement, je ne suis pas sûr de comprendre cette affaire du second ordre.

Mots clés: arithmétique de Peano, champ algébriquement fermé de char. 0, modèle saturé, incorporation. „Bonne idée, mais non. Vous finissez par la conclusion que si un seul nombre non standard existe, il doit faire partie d`une chaîne qui est infinie dans les deux directions, c.-à-d., une chaîne qui ressemble à une copie ordonnée des entiers négatifs et positifs. Et que si une chaîne infinie existe, il doit y avoir des chaînes infinies correspondant à tous les nombres rationnels.